Question

已知两圆x²+y²=4，x²+（y-8）²=4，若直线y=

5

2

x+b在两圆之间通过，则实数b的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据题意画出图形，如图所示，根据图形可知当已知直线与直线l1和l2平行，且在两直线之间时，在两圆之间通过，根据直线l₁与圆x²+（y-8）²=4相切，利用点到直线的距离公式求出圆心（0，8）到已知的直线的距离等于圆的半径，列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，从而确定出直线l₁的方程；同理求出直线l₂与圆x²+y²=4相切时，b的值，确定出直线l₂的方程，即可写出满足题意的b的范围．

解答：解：根据题意画出图形，如图所示：

由图形可知：直线y=

5

2

x+b与直线l₁和直线l₂平行且在两直线之间时，直线y=

5

2

x+b在两圆之间通过，
根据圆的方程x²+（y-8）²=4，得出圆心坐标为（0，8），半径为2，
若所求直线在直线l₁位置时，与圆x²+（y-8）²=4相切，所以圆心到直线的距离为

|2b-16|

3

=2，
即2b-16=6或2b-16=-6，解得：b=5或b=11（舍去）；
根据圆的方程x²+y²=4，得出圆心坐标为（0，0），半径为2，
若所求直线在直线l₂位置时，与圆x²+y²=4相切，所以圆心到直线的距离

|2b|

3

=2，
即2b=6或2b=-6，解得b=3或b=-3（舍去），
则满足题意的实数b取值范围是（3，5）．
故答案为：（3，5）

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，利用了点到直线的距离公式，以及数形结合的思想，本题的思路为：根据题意画出图形，找出所求直线所在的特殊位置直线l₁和直线l₂，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径求出相应b的值，进而得出满足题意的b的范围．