Question

从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程ax²+bx+c=0？其中有实数根的有几个？

Answer 1

解：①a只能在1，3，5，7中选一个有A₄¹种，b、c可在余下的4个中任取2个，
有A₄²种．故可组成二次方程A₄¹•A₄²=48个．
②方程要有实根，需△=b²-4ac≥0．
c=0，a、b可在1，3，5，7中任取2个，有A₄²种；
c≠0，b只能取5，7，b取5时，a、c只能取1，3，共有A₂²个；
b取7时，a，c可取1，3或1，5，有2A₂²个．故有实根的二次方程共有A₄²+A₂²+2A₂²=18个．
分析：由题意可知①二次方程要求a不为0，故a只能在1，3，5，7中选，b，c没有限制．
②二次方程要有实根，需△=b²-4ac≥0，再对c分类讨论．
点评：本题考查排列及组合数公式，考查分类讨论思想，考查分析问题解决问题能力，是基础题．