【题目】已知函数f(x)=2cos22x﹣2,给出下列命题:
①β∈R,f(x+β)为奇函数;
②α∈(0, ),f(x)=f(x+2α)对x∈R恒成立;
③x1 , x2∈R,若|f(x1)﹣f(x2)|=2,则|x1﹣x2|的最小值为 ;
④x1 , x2∈R,若f(x1)=f(x2)=0,则x1﹣x2=kπ(k∈Z).其中的真命题有( )
A.①②
B.③④
C.②③
D.①④
【答案】C
【解析】解:由题意,f(x)=2cos22x﹣2=cos4x﹣1;
对于①,∵f(x)=cos4x﹣1的图象如图所示;
函数f(x+β)的图象是f(x)的图象向左或向右平移|β|个单位,
它不会是奇函数的,故①错误;
对于②,f(x)=f(x+2α),∴cos4x﹣1=cos(4x+8α)﹣1,
∴8α=2kπ,∴α= ,k∈Z;
又α∈(0, ),∴取α= 或 时,
∴f(x)=f(x+2α)对x∈R恒成立,②正确;
对于③,|f(x1)﹣f(x2)|=|cos4x1﹣cos4x2|=2时,
|x1﹣x2|的最小值为 = = ,∴③正确;
对于④,当f(x1)=f(x2)=0时,
x1﹣x2=kT=k = (k∈Z),∴④错误;
综上,真命题是②③.
故选:C.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用二倍角的余弦公式的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握二倍角的余弦公式:.
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【题目】若关于x的不等式(ax+1)(ex﹣aex)≥0在(0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,1]
B.[0,1]
C.
D.[0,e]
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【题目】设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2﹣x),a≥0.
(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;
(2)若x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=a2x﹣2﹣x定义域为R的奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断函数f(x)在R上的单调性,并利用函数单调性的定义证明;
(3)若不等式f(9x+1)+f(t﹣23x+5)>0在在R上恒成立,求实数t的取值范围.
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【题目】函数y=sin (2x+ )的图象可由函数y=cosx的图象( )
A.先把各点的横坐标缩短到原来的 倍,再向左平移 个单位
B.先把各点的横坐标缩短到原来的 倍,再向右平移 个单位
C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移 个单位
D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移 个单位
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【题目】已知f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若a,b∈[﹣1,1],a+b≠0时,有 >0成立.
(Ⅰ)判断f(x)在[﹣1,1]上的单调性,并证明;
(Ⅱ)解不等式:f(2x﹣1)<f(1﹣3x);
(Ⅲ)若f(x)≤m2﹣2am+1对所有的a∈[﹣1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】如图所示,该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成,AD⊥AF,AE=AD=2.
(Ⅰ)证明:平面PAD⊥平面ABFE;
(Ⅱ)求正四棱锥P﹣ABCD的高h,使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是 .
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【题目】函数f(x)=a|log2x|+1(a≠0),定义函数F(x)= ,给出下列命题:
①F(x)=|f(x);
②函数F(x)是偶函数;
③当a<0时,若0<m<n<1,则有F(m)﹣F(n)<0成立;
④当a>0时,函数y=F(x)﹣2有4个零点.
其中正确命题的序号为 .
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