Question

15．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是边长为2的正三角形，AA₁=2，点M，N分别为A₁B和B₁C₁的中点．
（1）求异面直线MN与A₁C所成角的余弦值；
（2）求三棱锥A₁-MNC的体积．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角系，利用向量法能求出异面直线MN与A₁C所成角的余弦值．
（2）求出平面MNC的法向量，进而求出点A₁到平面MNC的距离，利用向量法求出△MNC的面积，由此能求出三棱锥A₁-MNC的体积．

解答 解：（1）以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，
建立空间直角系，
则B（$\sqrt{3}，1，0$），A₁（0，0，2），C（0，2，0），B₁（$\sqrt{3}，1，2$），C₁（0，2，2），
M（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），N（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，2），
$\overrightarrow{MN}$=（0，1，1），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，2，-2），
$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{{A}_{1}C}$=0+2-2=0，
∴异面直线MN与A₁C所成角的余弦值为0．
（2）$\overrightarrow{MN}$=（0，1，1），$\overrightarrow{MC}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，-1），$\overrightarrow{M{A}_{1}}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，1），
设平面MNC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}=y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y-z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{5}{\sqrt{3}}$，1，-1），
点A₁到平面MNC的距离d=$\frac{|\overrightarrow{M{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{\frac{31}{3}}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{31}}$．
|$\overrightarrow{MN}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{MC}$|=2，cos＜$\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{MC}$＞=$\frac{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{MC}}{|\overrightarrow{MN}|•|\overrightarrow{MC}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{4\sqrt{2}}$，
∴sin＜$\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{MC}$＞=$\sqrt{1-（\frac{1}{4\sqrt{2}}}）^{2}$=$\frac{\sqrt{31}}{4\sqrt{2}}$，
∴${S}_{△MNC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{31}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{31}}{4}$，
∴三棱锥A₁-MNC的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△MNC}×d$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{31}}{4}×\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{31}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．