Question

已知

m

=(sinx+cosx，

3

cosx)，

n

=(cosx-sinx，2sinx)，函数f（x）=

m

•

n

，
（Ⅰ）求x∈[-

π

6

，

π

3

]时，函数f（x）的取值范围；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C、的对边，且a=

3

，b+c=3，f（A）=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用平面向量数量积的运算法则计算

m

•

n

即可得到f（x）的解析式，然后由x的范围，求出2x+

π

6

的范围，根据正弦函数的图象即可得到f（x）的取值范围；
（Ⅱ）把x=A代入f（x）的解析式中得到f（A）的值，并让其值等于1得到正弦函数的值为

1

2

，根据A的范围求出2A+

π

6

的范围，再利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，然后利用余弦定理化简得到一个关于b与c的关系式，根据b+c=3，两者联立即可求出b和c的值，然后利用三角形的面积公式，由bc的值及sinA的值即可求出△ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2sin(2x+

π

6

)，
由x∈[-

π

6

，

π

3

]，
得到2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
所以f（x）∈[-1，2]；
（Ⅱ）由f(x)=2sin(2x+

π

6

)，
∵f（A）=1，2sin(2A+

π

6

)=1，∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，∴2A+

π

6

=

5π

6

?A=

π

3

，
由余弦定理知cosA=

b2+c2-a2

2bc

，∴b²+c²-bc=3
又b+c=3，
联立解得

b=2 c=1

或

b=1 c=2

，
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

．

点评：此题考查学生掌握正弦函数的图象及值域，灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，灵活运用三角形的面积公式化简求值，是一道综合题．