Question

（2004•虹口区一模）数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1 （n≥2），且a₃=95．
（1）求a₁，a₂；
（2）是否存在一个实数t，使得bn=

1

3n

(an+t)（n∈Z⁺），{b_n}为等差数列．有，则求出t，并予以证明；没有，则说明理由；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n=3a_n-1+3ⁿ-1 （n≥2），且a₃=95．先由95=3a₂+3³-1，求出a₂=23．再由23=3a₁+3²-1，求出a₁=5．
（2）bn=

1

3n

(an+t)为等差数列，必须b1=

1

3

(t+5)，b2=

1

9

(t+23)，b3=

1

27

(t+95)成等差数列，得t=-

1

2

． 由此能够证明当t=-

1

2

时，{b_n}是公差为1的等差数列．
（3）b1=

1

3

(5-

1

2

)=

3

2

，bn=

2n+1

2

． 由an=3n•bn-t=

1

2

[(2n+1)•3n+1]．由此能求出Sn=

n

2

(3n+1+1)．

解答：解：（1）∵a_n=3a_n-1+3ⁿ-1 （n≥2），且a₃=95．
∴95=3a₂+3³-1，
解得a₂=23．
23=3a₁+3²-1，
解得a₁=5．
∴a₁=5，a₂=23． （2分）
（2）bn=

1

3n

(an+t)为等差数列，必须b1=

1

3

(t+5)，b2=

1

9

(t+23)，b3=

1

27

(t+95)成等差数列，
得t=-

1

2

． （5分），
即bn=

1

3n

(an-

1

2

)，当n=1，2，3成等差．
下证此时b_n对一切n∈Z⁺定成等差数列．bn-bn-1=

1

3n

(an-

1

2

)-

1

3n-1

(an-1-

1

2

)=

1

3n

(3an-1+3n-

3

2

)-

1

3n-1

(an-1-

1

2

)=1
∴当t=-

1

2

时，{b_n}是公差为1的等差数列． （8分）
（3）b1=

1

3

(5-

1

2

)=

3

2

，
∴bn=

2n+1

2

． （10分）
由an=3n•bn-t=

1

2

[(2n+1)•3n+1]（12分）
 记Sn=

n

i=1

ai
得：Sn=

1

2

[3•3+5•32+…+(2n+1)•3n+n]
错位相减，得Sn=

n

2

(3n+1+1)． （16分）

点评：本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的灵活运用．