Question

如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点为F₁（1，0）、F₂（-1，0），离心率为

2

2

，过点A（2，0）的直线l交椭圆C于M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）①求直线l的斜率k的取值范围；
②在直线l的斜率k不断变化过程中，探究∠MF₁A和∠NF₁F₂是否总相等？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由焦点坐标及离心率可得c=1，

c

a

=

2

2

，再根据b²=a²-c²即可求得a，b，c；
（2）①设直线l的方程为y=k（x-2），与椭圆方程联立方程组，消掉y，由线l交椭圆C于M、N两点可得△＞0，解出即得k的范围．②设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），tan∠MF₁A-tan∠NF₁F₂=kMF1+kNF1=

y1

x1-1

+

y2

x2-1

，通分然后利用韦达定理可证tan∠MF₁A-tan∠NF₁F₂=0，即tan∠MF₁A=tan∠NF₁F₂，再由两角范围即可证明两角相等；

解答：解：（1）由已知条件知，c=1，

c

a

=

2

2

，解得a=

2

，
又b²=a²-c²=1，
所以椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），
联立

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²=2=0，①
由于直线l与椭圆C相交，
所以△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，
解得直线l的斜率k的取值范围是-

2

2

＜k＜

2

2

；
②∠MF₁A和∠NF₁F₂总相等．
证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

，
所以tan∠MF₁A-tan∠NF₁F₂=kMF1+kNF1=

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=

k(x1-1)(x2-2)+k(x2-1)(x1-2)

(x1-1)(x2-1)

=

k[2x1x2-3(x1+x2)+4]

(x1-1)(x2-1)

=

k[ 16k2-4 1+2k2 - 24k2 1+2k2 +4]

(x1-1)(x2-1)

=0，
所以tan∠MF₁A=tan∠NF₁F₂，又∠MF₁A和∠NF₁F₂均为锐角，
所以∠MF₁A=∠NF₁F₂．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题及椭圆方程的求解，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力．