Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足an+Sn=2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时，a1+S1=2a1=2，则a1=1．

又an+Sn=2，所以an+1+Sn+1=2，两式相减得an+1= an，

所以{an}是首项为1，公比为 的等比数列，

所以an=

（2）证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap+1，aq+1，ar+1（p＜q＜r，且p，q，r∈N*），则2 = + ，所以22r﹣q=2r﹣p+1．①

又因为p＜q＜r，所以r﹣q，r﹣p∈N*．

所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证

【解析】（1）由条件，再写一式，两式相减，可得{an}是首项为1，公比为 的等比数列，从而可求数列{an}的通项公式；（2）利用反证法，假设存在三项按原来顺序成等差数列，从而引出矛盾，即可得到结论．
【考点精析】利用等差关系的确定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列．