Question

（2012•广安二模）下列四个命题中：①a+b≥2

ab

；②sin2x+

4

sin2x

≥4；③设x，y都是正数，若

1

x

+

9

y

=1，则x+y的最小值是12；④若|x-2|＜ε，|y-2|＜ε，则|x-y|＜2ε，则其中所有真命题的个数有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：使用基本不等式时，要注意“一正，二定，三相等”，否则就不成立．另外注意使用含绝对值不等式性质的应用．

解答：解：①只有当a，b≥0，a+b≥2

ab

才成立，否则不成立；
②由基本不等式得：sin2x+

4

sin2x

≥2

sin2x× 4 sin2x

=4，当且仅当sin²x=2取等号，但是six²x=2无解，故sin2x+

4

sin2x

＞4，因此②成立．
③x+y=（x+y）×1=（x+y）×（

1

x

+

9

y

）=1+9+

y

x

+

9x

y

≥10+2

y x × 9x y

=10+2×3=16，当且仅当

y

x

=3时取等号，故（x+y）_min=16，因此③不成立．
④由含绝对值不等式的性质可得：|x-y|=|（x-?）-（y-?）|≤|x-?|+|y-?|＜?+?=2?，故④成立．
综上可知：只有②④是真命题．
故选B．

点评：本题考查了基本不等式及含绝对值不等式性质的应用，熟练掌握以上知识（特别是等号成立的条件）是解决问题的关键．