Question

如图，四棱锥的底面是正方形，，点在棱上.

（1）求证：平面平面；
（2）当，且时，确定点的位置，即求出的值.
（3）在（2）的条件下若F是PD的靠近P的一个三等分点，求二面角A-EF-D的余弦值.

Answer 1

（1）详见解析；(2) ；(3).

试题分析：（1）证面面垂直，先证明线面垂直.那么证哪条线垂直哪个面？因为ABCD是正方形， .又由平面可得，所以可证平面，从而使问题得证.
(2)设AC交BD=O.由（1）可得平面，所以即为三棱锥的高.由条件易得.
因为，所以可求出底面的面积.又因为PD=2，所以可求出点E到边PD的距离，从而可确定点E的位置.
(3)在本题中作二面角的平面角较麻烦，故考虑建立空间直角坐标系，然后用空间向量求解.
试题解析：（1）证明：四边形ABCD是正方形ABCD，.
平面,平面，所以.
，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
(2) 设.,.

在直角三角形ADB中，DB=PD=2，则PB=
中斜边PB的高h=

即E为PB的中点.
(3) 连接OE，因为E为PB的中点，所以平面.以O为坐标原点，OC为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系.
则A(1,0,0)，  E(0,0,1) ，F(0,-1,) ， D(0,-1,0).
平面EFD的法向量为
设为面AEF的法向量。

令y=1,则

所以二面角A-EF-D的余弦值为