Question

已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=-f（x+2），且f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）=x（x-2）．
（1）求f（-1），f（2.5）的值；
（2）写出f（x）在[-3，3]上的表达式，设g（x）=f（x）-k（k∈R），随着k的变化讨论函数g（x）在区间[-3，3]上零点的个数
（3）体会（2）中解析式的求法，试求出f（x）在R上的解析式，给出函数的单调区间；并求出x为何值时，f（x）有最大值．

Answer 1

分析：（1）根据恒等式进行赋值，令x=-1，x=2.5，结合f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）=x（x-2），即可求得f（-1），f（2.5）的值；
（2）设x∈[-2，0]，则0≤x+2≤2，利用已知条件即可求得x∈[-2，0]上的解析式，同理可以求得x∈[-3，-2]和x∈[2，3]上的解析式，最后写成分段函数即可得到答案，一次判断各段函数的单调性及函数值的取值范围，从而得到整个函数的单调性即函数值的取值情况，即可得到函数g（x）在区间[-3，3]上零点的个数．
（3）根据f（x）=-f（x+2）可以确定函数的周期为4，当x∈[4n，4n+2]可以利用周期转化为区间x-4n∈[0，2]，同理求解当x∈[4n-2，4n]时，再利用（2）的结果，即可求出f（x）的解析式，利用函数的周期性以及（2）中的单调性，即可得到函数f（x）的单调性，从而得到f（x）的最大值．

解答：解：（1）∵函数f（x）对任意实数x均有f（x）=-f（x+2），且当x∈[0，2]时，f（x）=x（x-2），
∴f（-1）=-f（-1+2）=-f（1）=1，
f(2.5)=-f(0.5+2)=-f(0.5)=

3

4

；
（2）函数f（x）对任意实数x均有f（x）=-f（x+2），且当x∈[0，2]时，f（x）=x（x-2），
设x∈[-2，0]，则0≤x+2≤2，
∴f（x）=-f（x+2）=-（x+2）（x+2-2）=-x（x+2），
设x∈[-3，-2]时，则-1≤x+2≤0，
∴f（x）=-f（x+2）=（x+2）（x+2+2）=（x+2）（x+4），
设x∈[2，3]时，则0≤x-2≤1，
f（x）=f（（x-2）+2）=-f（x-2）=-（x-2）（x-2-2）=-（x-2）（x-4），
综上所述，f（x）在[-3，3]上的表达式为f(x)=

(x+2)(x+4)，-3≤x＜-2 -x(x+2)，-2≤x＜0 x(x-2)，0≤x≤2 -(x-2)(x-4)，2＜x≤3

，
函数g（x）在区间[-3，3]上零点的个数即为方程g（x）=0的解得个数，
由g（x）=0，得f（x）=k，函数g（x）在区间[-3，3]上零点的个数即y=f（x）与y=k的交点个数，
根据f（x）在[-3，3]上的表达式以及二次函数的性质可得，f（x）的单调性情况如下：
f（x）在[-3，-1]上为增函数，在[-1，1]上为减函数，在[1，3]上为增函数，
又∵f（-3）=f（1）=-1，f（-1）=f（3）=1，
①当k＜-1或k＞1时，函数y=f（x）与直线y=k无交点，即函数g（x）无零点；
②当k=-1或k=1时，函数y=f（x）与直线y=k有2交点，即函数g（x）有2个零点；
③当-1＜k＜1时，函数y=f（x）与直线y=k有3交点，即函数g（x）有3个零点．
综上所述，当k＜-1或k＞1时，函数g（x）无零点，
当k=-1或k=1时，函数g（x）有2个零点，
当-1＜k＜1时，函数g（x）有3个零点．
（3）∵函数f（x）对任意实数x均有f（x）=-f（x+2），即f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=f（x），
故函数f（x）是周期函数，且周期为4，
设n∈Z，则f（x+4n）=f[x+4（n-1）+4]=f[x+4（n-1）]=…=f（x），
当x∈[4n，4n+2]时，0≤x-4n≤2，
∴f（x）=f（x-4n+4n）=f（x-4n）=（x-4n）（x-4n-2），
当x∈[4n-2，4n]时，-2≤x-4n≤0，
∴f（x）=f（x-4n+4n）=f（x-4n）=-（x-4n）（x-4n+2），
综上所述，f（x）=

-(x-4n)(x-4n+2)，4n-2≤x≤4n (x-4n)(x-4n-2)，4n＜x≤4n+2

，n∈Z，
根据f（x）的周期性，结合（2）中的单调性，即可得到：
f（x）的单调递减区间为[4n-1，4n+1]，单调递增区间为[4n+1，4n+3]，n∈Z，
∴当x=4n-1时，f（x）有最大值1．

点评：本题考查了函数的解析式的求解，函数周期性，函数的单调性．对于求解函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．本题运用了“整体代换”的思想即换元法求解解析式，解题的关键在于利用已知的恒等式将所要求解的区间转化到已知区间上．属于中档题．