Question

【题目】已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N+
（1）若a2 ， a3 ， a2+a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；
（2）设双曲线x2﹣ =1的离心率为en ， 且e2=2，求e12+e22+…+en2 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根据题意，数列{an}的首项为1，即a1=1，

又由Sn+1=qSn+1，则S2=qa1+1，则a2=q，

又有S3=qS2+1，则有a3=q2，

若a2，a3，a2+a3成等差数列，即2a3=a2+（a2+a3），

则可得q2=2q，（q＞0），

解可得q=2，

则有Sn+1=2Sn+1，①

进而有Sn=2Sn﹣1+1，②

①﹣②可得an=2an﹣1，

则数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列，

则an=1×2n﹣1=2n﹣1

（2）

解：根据题意，有Sn+1=qSn+1，③

同理可得Sn=qSn﹣1+1，④

③﹣④可得：an=qan﹣1，

又由q＞0，

则数列{an}是以1为首项，公比为q的等比数列，则an=1×qn﹣1=qn﹣1；

若e2=2，则e2= =2，

解可得a2= ，

则a2=q= ，即q= ，

an=1×qn﹣1=qn﹣1=（ ）n﹣1，

则en2=1+an2=1+3n﹣1，

故e12+e22+…+en2=n+（1+3+32+…+3n﹣1）=n+

【解析】（1）根据题意，由数列的递推公式可得a2与a3的值，又由a2 ， a3 ， a2+a3成等差数列，可得2a3=a2+（a2+a3），代入a2与a3的值可得q2=2q，解可得q的值，进而可得Sn+1=2Sn+1，进而可得Sn=2Sn﹣1+1，将两式相减可得an=2an﹣1 ， 即可得数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案；
（2）根据题意Sn+1=qSn+1，同理有Sn=qSn﹣1+1，将两式相减可得an=qan﹣1 ， 分析可得an=qn﹣1；又由双曲线x2﹣ =1的离心率为en ， 且e2=2，分析可得e2= =2，解可得a2的值，由an=qn﹣1可得q的值，进而可得数列{an}的通项公式，再次由双曲线的几何性质可得en2=1+an2=1+3n﹣1 ， 运用分组求和法计算可得答案；
本题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中q＞0这一条件．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．