Question

（理）已知函数f(x)=x-

1

2

ax2-ln(1+x)，其中a∈R．
（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f′(x)=

x(1-a-ax)

x+1

，  x∈(-1，+∞)．令f'（2）=0，能求出a的值．
（Ⅱ）当a=0时，f′(x)=

x

x+1

．故f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．当a＞0时，令f'（x）=0，得x₁=0，或x2=

1

a

-1．当0＜a＜1时，列表讨论f（x）与f'（x）的情况能求出f（x）的单调区间．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（0）=0，知不合题意．当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f(

1

a

-1)，由f(

1

a

-1)＞f(0)=0，知不合题意．当a≥1时，f（x）在（0，+∞）单调递减，可得f（x）在[0，+∞）上的最大值是f（0）=0，符合题意．由此能求出f（x）在[0，+∞）上的最大值是0时，a的取值范围是[1，+∞）．

解答：（理）（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：f′(x)=

x(1-a-ax)

x+1

，  x∈(-1，+∞)．
依题意，令f'（2）=0，解得 a=

1

3

．
经检验，a=

1

3

时，符合题意．…（4分）
（Ⅱ）解：①当a=0时，f′(x)=

x

x+1

．
故f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．
②当a＞0时，令f'（x）=0，得x₁=0，或x2=

1

a

-1．
当0＜a＜1时，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-1，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

所以，f（x）的单调增区间是(0，

1

a

-1)；单调减区间是（-1，0）和(

1

a

-1，+∞)．
当a=1时，f（x）的单调减区间是（-1，+∞）．
当a＞1时，-1＜x₂＜0，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-1，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x2）	↗	f（x1）	↘

所以，f（x）的单调增区间是(

1

a

-1，0)；单调减区间是(-1，

1

a

-1)和（0，+∞）．
③当a＜0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．
综上，当a≤0时，f（x）的增区间是（0，+∞），减区间是（-1，0）；
当0＜a＜1时，f（x）的增区间是(0，

1

a

-1)，减区间是（-1，0）和(

1

a

-1，+∞)；
当a=1时，f（x）的减区间是（-1，+∞）；
当a＞1时，f（x）的增区间是(

1

a

-1，0)；减区间是(-1，

1

a

-1)和（0，+∞）．
…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（0）=0，知不合题意．
当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f(

1

a

-1)，
由f(

1

a

-1)＞f(0)=0，知不合题意．
当a≥1时，f（x）在（0，+∞）单调递减，
可得f（x）在[0，+∞）上的最大值是f（0）=0，符合题意．
所以，f（x）在[0，+∞）上的最大值是0时，a的取值范围是[1，+∞）．…（12分）

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．