Question

函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x＞0，y＞0，都有 f（

x

y

）=f（x）-f（y），当x＞1时，有f（x）＞0
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的单调性并证明；
（3）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（

1

3

）＜2．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法即可求f（1）的值；
（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性并证明；
（3）结合函数单调性将不等式进行转化即可得到结论．

解答： 解：（1）令x=y＞0，则f（1）=f（x）-f（x）=0，
所以f（1）=0．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)，
因为x₂＞x₁＞0，所以

x2

x1

＞1⇒f(

x2

x1

)＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＞0
即f（x₂）＞f（x₁），
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）因为f（6）=1，所以f（36）-f（6）=f（6），
所以f（36）=2f（6）=2．
由f(x+3)-f(

1

3

)＜2，得f（3x+9）＜f（36），
所以

x+3＞0 3x+9＜36

⇒-3＜x＜9
所以原不等式的解为（-3，9）．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的关键．