Question

5．在△ABC中，面积S=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{4}$，且2sinBsinC=sinA，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 利用三角形面积公式及余弦定理化简已知等式可得$\sqrt{2}$sin（C-$\frac{π}{4}$）=0，结合C的范围即可求C的值，又根据两角和的正弦函数公式化简可得sin（B-$\frac{π}{4}$）=0，结合B的范围即可求得B的值，再利用三角形内角和公式即可求A的值，从而得解．

解答 解：∵由题意可得：$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{2abcosC}{4}$，整理可得：$\sqrt{2}$sin（C-$\frac{π}{4}$）=0，
∵0＜C＜π，-$\frac{π}{4}$＜C-$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴解得C=$\frac{π}{4}$，
又∵2sinBsinC=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴$\sqrt{2}$sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosB，整理可得：sin（B-$\frac{π}{4}$）=0，
∵0$＜B＜\frac{3π}{4}$，即可解得B=C=$\frac{π}{4}$，
∴A=π-B-C=$\frac{π}{2}$，
故三角形为等腰直角三角形．

点评 本题主要考查了三角形面积公式及余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和公式及正弦函数的图象和性质的应用，属于基本知识的考查．