Question

设函数
（1）求证：不论a为何实数，f（x）是增函数
（2）确定a的值，使f（x）是奇函数
（3）当f（x）为奇函数时，求关于t的不等式f（2t-1）+f（t-2）＜0的解集．

Answer 1

解：（1）证明：?x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）===，
∵x₁＜x₂，∴，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
因此不论a为何实数，f（x）是增函数；
（2）由f（0）=0，解得，
可以验证：当时，f（x）是奇函数；
（3）由（2）可知：．
∴，
∵不等式f（2t-1）+f（t-2）＜0，
∴f（2t-1）＜-f（t-2）=f（2-t），
由（1）可知：函数f（x）在R上单调递增，
∴2t-1＜2-t，
解得t＜1．
∴关于t的不等式f（2t-1）+f（t-2）＜0的解集是（-∞，1）．
分析：（1）利用函数的单调性定义即可证明；
（2）利用奇函数的定义即可证明；
（3）利用函数的奇偶性和单调性即可求出．
点评：熟练掌握函数的奇偶性和单调性是解题的关键．