Question

如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v-c|×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．
（Ⅰ）写出y的表达式
（Ⅱ）设0＜v≤10，0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）E移动时的总淋雨量应该等于单位时间内的淋雨量乘以所用的时间，可先求出单位时间内的淋雨量的式子，再乘以时间即可；
（Ⅱ）根据绝对值的性质，将（Ⅰ）中的函数分解为分段函数的形式，再由c的不同取值范围讨论函数的单调性，在不同的情况下，单调区间不同，总淋雨量最小值对应的v值也不同．
解答：解：（Ⅰ）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，故
                     
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
当0＜v≤c时，
当c≤v≤10时，
故   
（1）当0＜c时，y是关于v的减函数，故当v=10时，；
（2）当时，在（0，c]上y是关于v的减函数，
在（c，10]上，y是关于v的增函数，
故当v=c时，
答：（Ⅰ）函数y的表达式为
（Ⅱ）（1）在0＜c的情况下，当v=10时，总淋雨量y最少；
     （2）在的情况下，当v=c时，总淋雨量y最少．
点评：本题着重考查函数应用能力，所建立的函数式为含有绝对值的式子．解决问题的关键一是要能根据v的范围将式子化简为分段函数，二是要将常数c进行讨论得出函数的单调性，从而得出不同情形下的最小值点．