Question

如图，五面体中，四边形ABCD是矩形，DA⊥面ABEF，且DA=1，AB∥EF，AB=

1

2

EF=2

2

，AF=BE=2，P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点．
（Ⅰ）求证：PQ∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：AM⊥平面ADF；
（Ⅲ）求二面角A-DF-E的余弦值．

Answer 1

分析：（I）连结AC，证明PQ∥EC，利用直线与平面平行的判定定理证明PQ∥平面BCE；
（II）直接利用直线与平面垂直的判定定理证明AM⊥平面ADF；
（III）通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过空间向量的数量积求出二面角A-DF-E的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）连结AC，因为四边形ABCD是矩形，
Q为BD的中点，所以Q为AC的中点，
又在△AEC中，P为AE的中点，∴PQ∥EC，
∵EC?平面BCE中，PQ?平面BSE，
∴PQ∥平面BCE；
（Ⅱ）∵M为EF的中点，∴EM=AB=2

2

，
又∵EF∥AB，∴四边形ABEM是平行四边形，
又AF=2，MF=2

2

，∴△MAF是直角三角形，∠MAF=90°，
∴MA⊥AF，
∵DA⊥面ABEF，MA?平面ABEF，∴MA⊥DA，
又∵DA∩AF=A，
∴AM⊥平面ADF；

（Ⅲ）如图，以A坐标原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（0，0，1），M（2，0，0），F（0，2，0）．
可得

AM

=（2，0，0），

MF

=(-2，2，0)，

DF

=(0，2，0)，
设平面DEF的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • DF =0 n • MF =0

故

2y-z=0 -2x+2y=0

令x=1，则y=1，z=2故

n

=(1，1，2)．
∵AM⊥平面ADF，
所以

AM

为平面ADF的一个法向量，
所以cos＜

n

，

AM

＞=

n • AM

| n || AM |

=

2×1+0×1+0×2

6 ×2

=

6

6

，
所以所求二面角A-DF-E的余弦值为

6

6

．

点评：本题考查直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．