【题目】设椭圆方程为,过点的直线l交椭圆于点A,B,O是坐标原点,点P满足,点N的坐标为,当l绕点M旋转时,求:
(1)动点P的轨迹方程;
(2)的最小值与最大值.
【答案】(1);(2)当时,最小值为;当时,最大值为.
【解析】
(1)设出直线的方程和点A、B的坐标,联立直线与椭圆的方程,即可求出,然后根据求出点P的坐标,消去参数,即可得到动点P的轨迹方程,再检验当k不存在时,是否也满足方程即可;
(2)根据点P的轨迹方程求得的取值范围,再根据两点间的距离公式求出,消元,由二次函数的性质即可求出的最小值与最大值.
(1)直线l过点,设其斜率为k,则l的方程为.
设,,由题设可得点A、B的坐标是方程组的解.
将①代入②并化简得,所以
于是,,
设点P的坐标为,
则消去参数k得,③
当k不存在时,A、B中点为坐标原点,也满足方程③,
所以点P的轨迹方程为.
(2)点P的轨迹方变形为,
知,即.
所以
,
故当时,取得最小值,最小值为.
当时,取得最大值,最大值为.
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【题目】已知点在椭圆上,为坐标原点,直线的斜率与直线的斜率乘积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)不经过点的直线(且)与椭圆交于,两点,关于原点的对称点为(与点不重合),直线,与轴分别交于两点,,求证:.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,,E为AB的中点.将沿DE翻折,得到四棱锥.设的中点为M,在翻折过程中,有下列三个命题:
①总有平面;
②线段BM的长为定值;
③存在某个位置,使DE与所成的角为90°.
其中正确的命题是_______.(写出所有正确命题的序号)
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【题目】如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,,平面平面,点为棱的中点.
(Ⅰ)在棱上是否存在一点,使得平面,并说明理由;
(Ⅱ)当二面角的余弦值为时,求直线与平面所成的角.
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【题目】某校进入高中数学竞赛复赛的学生中,高一年级有6人,高二年级有12人, 高三年级有24人,现采用分层抽样的方法从这些学生中抽取7人进行采访.
(1)求应从各年级分别抽取的人数;
(2)若从抽取的7人中再随机抽取2人做进一步了解(注高一学生记为,高二学生记为,高三学生记为,)
①列出所有可能的抽取结果;
②求抽取的2人均为高三年级学生的概率.
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