Question

（本小题14分）．已知直线Ｌ被两平行直线：与：所截线段ＡＢ的中点恰在直线上，已知圆．

（Ⅰ）求两平行直线与的距离；

（Ⅱ）证明直线Ｌ与圆Ｃ恒有两个交点；

（Ⅲ）求直线Ｌ被圆Ｃ截得的弦长最小时的方程．

Answer 1

（Ⅰ）解：两平行直线与的距离………3分

（Ⅱ）证明（法一）：设线段AB的中点P的坐标（a，b），由P到L₁，_、L₂的距离相等，得

，

经整理得，，又点P在直线ｘ－4ｙ－１＝０上，所以

解方程组得  即点P的坐标（－3，－1），………7分

所以直线L恒过点P（－３，－１）；……………  8分

将点P（－3，－1）代入圆，可得

所以点P（－3，－1）在圆内，从而过点P的直线Ｌ与圆Ｃ恒有两个交点．………10分

（Ⅲ）解：当PC与直线Ｌ垂直时，弦长最小，，所以直线Ｌ的斜率为，所以直线Ｌ的方程为：．……………………………14分

（Ⅱ）法二：设线段ＡＢ的中点P必经过直线：，由已知，得

，

所以，所以，得点P（－3，－1），以下同法一