Question

已知双曲线中心在原点，且一个焦点为（

7

，0），直线y=x-1与其相交于M，N两点，MN的中点的横坐标为-

2

3

，求此双曲线的方程．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN的中点的横坐标为-

2

3

，即得双曲线方程．

解答： 解　设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），依题意c=

7

，
∴方程可以化为

x2

a2

-

y2

7-a2

=1，
由直线代入得（7-2a²）x²+2a²x-8a²+a⁴=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-2a2

7-2a2

，
∵MN的中点的横坐标为-

2

3

，
∴

1

2

×

-2a2

7-2a2

=-

2

3

，解得a²=2，
∴双曲线的方程为

x2

2

-

y2

5

=1．

点评：本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．