Question

7．△ABC中，tanA=$\frac{1}{3}$，B=$\frac{π}{4}$．若椭圆E以AB为长轴，且过点C，则椭圆E的离心率是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知求得sinA、sinB、sinC的值，设出BC的长度，再由题意建系求出椭圆的方程，进一步求得椭圆E的离心率．

解答 解：由tanA=$\frac{1}{3}$，得sinA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
又B=$\frac{π}{4}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
由正弦定理可得BC：CA：AB=sinA：sinB：sinC=1：$\sqrt{5}$：$2\sqrt{2}$．
不妨取BC=1，CA=$\sqrt{5}$，AB=$2\sqrt{2}$．
以AB所在直线为x轴，AB中点O为原点建系（C在上方），D是C在AB上的射影．
求得AD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴点C（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
设椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，则a²=2，且$\frac{1}{2{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1$，解得：${b}^{2}=\frac{2}{3}$，
∴${c}^{2}={a}^{2}-{b}^{2}=\frac{4}{3}$．
∴${e}^{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{2}{3}$，e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，是中档题．