Question

2．如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC，AC=2$\sqrt{2}$，PA=2，D是AC的中点
（I）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PA与平面PBC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出BD⊥PA，BD⊥AC，由此能证明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）以D为原点，以BD延长线为x轴，DA为y轴，过D作AP的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PA与平面PBC所成角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，BD?平面ABC，
∴BD⊥PA，
∵AB=BC，D是AC的中点，
∴BD⊥AC，
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
解：（Ⅱ）以D为原点，以BD延长线为x轴，DA为y轴，过D作AP的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，
设BD=a，则A（0，$\sqrt{2}$，0），B（-a，0，0），C（0，-$\sqrt{2}$，0），P（0，$\sqrt{2}$，2），
$\overrightarrow{PA}=（0，0，-2）$，$\overrightarrow{AB}=（-a，-\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{BC}$=（a，-$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{BP}$=（a，$\sqrt{2}，2$），
设平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-ax-\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=-2$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（-2$\sqrt{2}$，2a，0），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}={ax}_{1}-\sqrt{2}{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}=a{x}_{1}+\sqrt{2}{y}_{1}+2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取x=2$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{2}$，2a，-2$\sqrt{2}a$），
∵二面角A-PB-C为90°，∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-8+4a²=0，解得a=$\sqrt{2}$或a=-$\sqrt{2}$（舍），
∴$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$，-4），
设PA与平面PBC所成角为θ，
∵$\overrightarrow{PA}$=（0，0，-2），∴sinθ=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|8|}{2×\sqrt{32}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴PA与平面PBC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．