Question

过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，通过点B平行于抛物线对称轴的直线交抛物线的准线于点D，求证：三点A、O、D共线．

Answer 1

分析：建系写方程，写出点A、B、D的坐标，可利用斜率相等，或用向量法证明三点共线．

解答：解：以抛物线的对称轴为x轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系，
则可设抛物线的方程为y²=2px（p＞0），
当直线AB的斜率存在时，设AB的斜率为k（k≠0），
由题意直线AB的方程为y=k(x-

p

2

)，
把y=k(x-

p

2

)代入抛物线的方程得y2-

2p

k

y-p2=0，
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y2=-

p2

y1

(y1≠0)，D(-

p

2

，-

p2

y1

)，
故可得k_OA=

y1

x1

=

y1

y12 2p

=

2p

y1

，而k_OD=

- p2 y1

- p 2

=

2p

y1

=k_OA，故三点A、O、D共线，
当直线无斜率时，A（

p

2

，p），B（

p

2

，-p），故D(-

p

2

，-p)，
同样可得k_OA=

p

p 2

=2，而k_OD=

-p

- p 2

=2=k_OA，仍有三点A、O、D共线，
综上可得三点A、O、D共线．

点评：本题考查三点共线的证明，涉及分类讨论的思想，属基础题．