【题目】在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3),试问
(1)在y轴上是否存在点M,满足 ?
(2)在y轴上是否存在点M,使△MAB为等边三角形?若存在,试求出点M坐标.
【答案】
(1)假设在在y轴上存在点M,满足 .
因M在y轴上,可设M(0,y,0),由 ,可得 ,
显然,此式对任意 恒成立.这就是说y轴上所有点都满足关系 .
(2)假设在y轴上存在点M,使△MAB为等边三角形.
由(1)可知,y轴上任一点都有 ,所以只要 就可以使得△MAB是等边三角形.
因为
于是 ,解得
故y轴上存在点M使△MAB等边,M坐标为(0, ,0),或(0, ,0).
【解析】分析:本题主要考查了空间直角坐标系、空间中的点的坐标、空间两点间的距离公式,解决问题的关键是:(1) 首先设在在y轴上存在点M,根据 .因为M在y轴上,可设M(0,y,0),可得其满足的坐标关系式,根据所得式子说明问题即可;(2) 设在y轴上存在点M,使△MAB为等边三角形,根据三边长度相等计算求得M点坐标即可.
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【题目】已知函数f(x)=(x﹣1)2+a(lnx﹣x+1)(其中a∈R,且a为常数) (Ⅰ)当a=4时,求函数y=f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若对于任意的x∈(1,+∞),都有f(x)>0成立,求a的取值范围;
(Ⅲ)若方程f(x)+a+1=0在x∈(1,2)上有且只有一个实根,求a的取值范围.
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【题目】已知命题P:4x﹣a2x+1≥0对x∈[﹣1,1]恒成立,命题Q:f(x)=log2(ax2﹣2x+ )的值域是R,若满足P且Q为假,P或Q为真,求实数a的取值范围.
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【题目】已知f(x)=xlnx,g(x)=﹣x2+ax﹣3.
(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)证明:对一切x∈(0,+∞),都有lnx> ﹣
成立.
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【题目】已知函数f(x)=|x|,g(x)=﹣|x﹣4|+m.
(1)解关于x的不等式g[f(x)]+3﹣m>0;
(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(2x)图象的上方,求实数m的取值范围.
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【题目】若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A.3
B.2
C.3
D.4
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