Question

19．如图，△ABC中，|AB|=|AC|，D是BC边上任意一点，（D与B、C不重合），求证：|AB|²=|AD|²+|BD|•|DC|．

Answer 1

分析 由题意建立平面直角坐标系，设出所用点的坐标，得到向量的坐标，由向量的模证明答案．

解答 证明：建立如图所示直角坐标系，

∵|AB|=|AC|，∴可设C（a，0），B（-a，0），
再设A（0，b）D（m，0），则$\overrightarrow{AB}=（-a，-b），\overrightarrow{AD}=（m，-b）$，
$\overrightarrow{BD}=（m+a，0），\overrightarrow{DC}=（a-m，0）$．
∴：|AB|²=$|\overrightarrow{AB}{|}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}$，
|AD|²+|BD|•|DC|=$|\overrightarrow{AD}{|}^{2}+|\overrightarrow{BD}|•|\overrightarrow{DC}|$=m²+b²+（m+a）（a-m）=a²+b²，
∴|AB|²=|AD|²+|BD|•|DC|．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，建立平面直角坐标系能够简化该题的证明过程，是中档题．