Question

已知直线l的方向向量为

a

=（1，1），且过直线l₁：2x+y+1=0和直线l₂：x-2y+3=0的交点．
（1）求直线l的方程；
（2）若点P（x₀，y₀）是曲线y=x²-lnx上任意一点，求点P到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求出两直线的交点，然后根据 直线的方向向量可求直线的斜率，即可求解直线方程
（2）当曲线上过点P的切线和直线y=x+2平行时，点P到直线y=x-2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x-2的距离即为所求．

解答：解：（1）由

2x+y+1=0 x-2y+3=0

可得

x=-1 y=1

由题意可得，直线l的斜率k=1，且过（-1，1）
∴直线l的方程为y-1=x+1即x-y+2=0
（2）当过点P的切线和直线y=x+2平行时，点P到直线y=x+2的距离最小．
由题意可得，y′=2x-

1

x

=1，
∴x=1，或 x=-

1

2

（舍去）
故曲线y=x²-lnx上和直线y=x+2平行的切线经过的切点坐标（1，1），
点（1，1）到直线y=x+2的距离d=

|1-1+2|

2

=

2

故点P到直线y=x-2的最小距离为

2

点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想．