Question

9．若定义在区间[-2015，2015]上的函数f（x）满足：对于任意的x₁，x₂∈[-2015，2015]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2015，且x＞0时，有f（x）＜2015，f（x）的最大值、最小值分别为M，N，则M+N的值为（　　）

• A． 2014
• B． 2015
• C． 4028
• D． 4030

Answer 1

分析 根据抽象函数的表达式，利用函数单调性的性质即可得到结论．

解答 解：∵对于任意的x₁，x₂∈[-2015，2015]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2015，
∴令x₁=x₂=0，得f（0）=2015，
再令x₁+x₂=0，将f（0）=2015代入可得f（x）+f（-x）=4030．
设x₁＜x₂，x₁，x₂∈[-2015，2015]，
则x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）-2015，
∴f（x₂）+f（-x₁）-2015＜2015．
又∵f（-x₁）=4030-f（x₁），
∴可得f（x₂）＞f（x₁），
即函数f（x）是递减的，
∴f（x）_max=f（-2015），f（x）_min=f（2015）．
又∵f（2015）+f（-2015）=4030，
∴M+N的值为4030．
故选：D．

点评 本题主要考查函数值的计算，利用赋值法，证明函数的单调性是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．