Question

如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，侧面对角线AB₁，BC₁上分别有两点E，F，且B₁E＝C₁F.求证：EF∥平面ABCD.

Answer 1

见解析

证明：方法一：过E作EM⊥AB于M，过F作FN⊥BC于N，连接MN，如图所示，则EM∥BB₁，FN∥BB₁，

∴EM∥FN.
∵AB₁＝BC₁，B₁E＝C₁F，
∴AE＝BF，
∴＝，
＝＝，
∴＝.
又∵BB₁＝CC₁，∴EM＝FN，
∴四边形EMNF是平行四边形，
∴EF∥MN.
又∵EF?平面ABCD，MN?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD.
方法二：过点E作EH⊥BB₁于点H，连接FH，如图所示，则EH∥AB，所以＝.

∵AB₁＝BC₁，B₁E＝C₁F，
∴＝，
∴＝，
∴FH∥B₁C₁.
∵B₁C₁∥BC，∴FH∥BC.
∵EH∩FH＝H，
∴平面EFH∥平面ABCD.
∵EF?平面EFH，
∴EF∥平面ABCD.