精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
2.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱AA1⊥平面ABC,D为棱A1B1的中点,E为AA1的中点,点F在棱AB上,且AF=$\frac{1}{4}$AB.
(1)求证:EF∥平面BC1D;
(2)求VD-EBC1的体积.

分析 (1)根据线面平行的判定定理证明即可;(2)证明C1D⊥平面ABB1A1,求出棱锥的底面面积,然后求解即可.

解答 解:(1)证明:由$\frac{{D{B_1}}}{{B{B_1}}}=\frac{AF}{AE}=\frac{1}{2}$,
可知EF∥BD,
$\left.\begin{array}{l}EF∥BD\\ BD?平面B{C_1}D\end{array}\right\}⇒EF∥平面B{C_1}D$.
(2)由题可知${S_{△EBD}}={S_{AB{B_1}{A_1}}}-{S_{△{A_1}DE}}-{S_{△ABE}}-{S_{△BD{B_1}}}=\frac{3}{2}$,
.$\left.\begin{array}{l}\left.\begin{array}{l}{A_1}A⊥平面{A_1}{B_1}{C_1}\\{C_1}D?平面{A_1}{B_1}{C_1}\end{array}\right\}⇒{A_1}A⊥{C_1}D\\{C_1}D⊥{A_1}{B_1}\end{array}\right\}⇒{C_1}D⊥平面AB{B_1}{A_1}$,
则${V_{{C_1}-EBD}}=\frac{1}{3}{S_{△EBD}}•{C_1}D=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
△EBC1中,$EC=\sqrt{5}$,$EB=\sqrt{5}$,$B{C_1}=2\sqrt{2}$,
则${S_{△EB{C_1}}}=\sqrt{6}$${V_{{C_1}-EBD}}=\frac{1}{3}{S_{△EB{C_1}}}•h=\frac{1}{3}\sqrt{6}•h=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
则$h=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$.

点评 本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线面的平行关系、空间点面距离的求法.本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

12.已知点P(x,y,z)到原点的距离为1,则x,y,z所满足的关系式为x2+y2+z2=1.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

13.已知如图:四边形ABCD是矩形,BC⊥平面ABE,且AE=EB=BC=2,点F为CE上一点,且BF⊥平面ACE.
(1)求证:AE∥平面BFD;
(2)求二面角C-DE-A的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

10.若曲线C1:$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$(θ为参数),曲线C2:$\left\{{\begin{array}{l}{x=acosϕ}\\{y=bsinϕ}\end{array}}\right.$(ϕ为参数),以O为极点,x的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:θ=α与C1,C2分别交于P,Q两点,当α=0时,|PQ|=2,当$α=\frac{π}{2}$时,P与Q重合.
(Ⅰ)把C1、C2化为普通方程,并求a,b的值;
(Ⅱ)直线l:$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$(t为参数)与C2交于A,B两点,求|AB|.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

17.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面的边长都是2,D是AC的中点.
(1)求证:BD⊥A1D;
(2)求直线BA1与平面AA1C1C所成角的余弦值;
(3)求三棱锥A1-ABD的体积;
(4)求三角形A1BD的面积,并求出点A到平面A1BD的距离.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

7.已知x+y+1=0,那么$\sqrt{(x+2{)^2}+{{(y+3)}^2}}$的最小值为2$\sqrt{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

14.已知△ABC为锐角三角形,AB≠AC,以BC为直径的圆分别交边AB和AC于点M和N,记BC得中点为O,∠BAC的平分线和∠MON的平分线交于点R.证明:△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个交点在BC上.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

11.已知椭圆C1:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A(0,1)在椭圆C1内,半焦距长为1,P为椭圆C1上任意一点,且|PA|+|PF2|的最大值为4+$\sqrt{2}$,过点F2的直线l与椭圆C1相交于M(x1,y1)、N(x2,y2)两点.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)求使$\overrightarrow{{F}_{1}M}$+$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=$\overrightarrow{{F}_{1}R}$成立的动点R的轨迹方程;
(3)试问△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值及此时的直线l的方程,若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

12.已知f(x),g(x)都是R上的奇函数,f(x)>0的解集为(a2,b),g(x)>0的解集为($\frac{{a}^{2}}{2}$,$\frac{b}{2}$),且a2<$\frac{b}{2}$,则f(x)•g(x)>0的解集为(  )
A.(-$\frac{b}{2}$,-a2)∪(a2,$\frac{b}{2}$)B.(-$\frac{b}{2}$,a2)∪(-a2,$\frac{b}{2}$)C.(-$\frac{b}{2}$,-a2)∪(a2,b)D.(-b,-a2)∪(a2,$\frac{b}{2}$)

查看答案和解析>>

同步练习册答案