已知函数f(x)=x2-2alnx-1(a≠0).
(Ⅰ)当a=2时,求f(x)在x=1处的切线方程;
(Ⅱ)求f(x)的极值.
解:(Ⅰ)当a=2时,f(x)=x
2-4lnx-1,
∴f(1)=0
又
,
∴f′(1)=-2
所以y-0=-2(x-1)
即f(x)在x=1处的切线方程为2x+y-2=0-------------(5分)
(II)因为f(x)=x
2-2alnx-1(a≠0)
所以
(x>0)--------------(6分)
(1)当a<0时,
因为x>0,且x
2-a>0,
所以f'(x)>0对x>0恒成立,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)无极值---------------------(8分)
(2)当a>0时,
令f'(x)=0,解得x
1=
,x
2=-
(舍)------------------------(10分)
所以,当x>0时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
| x | (0,) | | (,+∞) |
| f'(x) | - | 0 | + |
| f(x) | ↘ | 极小值 | ↗ |
------------------------------------------------(12分)
所以,当x=
时,f(x)取得极小值,且f(x)
极小值=a-alna-1.
综上,当a<0时,方程f'(x)=0无解,函数f(x)在(0,+∞)上无极值;
当a>0时,函数f(x)在x=
处取得极小值f(x)
极小值=a-alna-1.--------------(13分)
分析:(I)欲求在点x=1处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.
(II)先求出f(x)的导数,根据f′(x)>0求得的区间是单调增区间,f′(x)<0求得的区间是单调减区间,再求出极值即可.
点评:本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力及分类讨论思想.属于基础题.