Question

已知：平面α∥平面β，AB，CD是夹在这两个平面之间的线段，且AE=EB，CG=GD，，如图所示．

求证：EG∥平面α，EG∥平面β．

Answer 1

答案：略
解析：

证明：若AB、CD异面，过点A作AH∥CD交平面β于H，设F是AH的中点，连结EF，FG和BH，HD． ∵E、F分别是AB、AH的中点， ∴EF∥BH，且平面β，平面β．∴EF∥β． 由作图知AH∥CD，AH与CD确定一平面AHDC． 则有平面AHDC∩α=AC，有AHDC∩β=HD． 又∵α∥β，∴AC∥HD． 又F，G分别是AH，CD的中点，且AC∥HD， ∴FG∥HD．∴FG∥β．∵EF∩FG=F，∴平面EFG∥β． 又α∥β，∴平面EFG∥α． ∵平面EFG，∴EG∥α，EG∥β． 若AB、CD相交，∵α∥β，∴AC∥BD． 又∵AE=EB，CG=GD，∴EG∥AC，EG∥BD． ∵平面α，平面β，平面α，平面β， ∴EG∥平面α，EG∥平面β． 通过作辅助线和辅助平面，利用平行四面的性质解决问题．