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已知f(x)=x-(a>0),g(x)=2lnx+bx且直线y=2x-2与曲线y=g(x)相切.
(1)若对[1,+)内的一切实数x,小等式f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当a=l时,求最大的正整数k,使得对[e,3](e=2.71828是自然对数的底数)内的任意k个实数x1,x2,,xk都有成立;
(3)求证:
(1);(2)的最大值为
(3)当时,根据(1)的推导有,时,,即.令,得,化简得

试题分析:(1)设点为直线与曲线的切点,则有.     (*)
.  (**)
由(*)、(**)两式,解得.    2分
整理,得
要使不等式恒成立,必须恒成立.   

时,,则是增函数,
是增函数,.5分
因此,实数的取值范围是.      6分
(2)当时,
上是增函数,上的最大值为
要对内的任意个实数都有
成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值,
时不等式左边取得最大值,时不等式右边取得最小值.
,解得
因此,的最大值为.                10分
(3)证明(法一):当时,根据(1)的推导有,时,
.        11分
,得,   
化简得,        13分
.    14分
(法二)数学归纳法:当时,左边=,右边=
根据(1)的推导有,时,,即
,得,即
因此,时不等式成立.                    11分
(另解:,即.)
假设当时不等式成立,即
则当时,
要证时命题成立,即证
即证
在不等式中,令,得           
.    
时命题也成立.              13分
根据数学归纳法,可得不等式对一切成立. 14分
点评:(1)本题主要考查导数的几何意义及其应用和数学归纳法等综合知识,考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识.对学生的能力要求较高,尤其是分析问题解决问题的能力。(2)解决恒成立问题常用变量分离法,变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题, 思路1:上恒成立;思路2: 上恒成立
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