Question

已知直线l：kx-y-2-k=0（k∈R）．
（1）证明：直线过l定点；
（2）若直线不经过第二象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线的一般式方程,恒过定点的直线

专题：直线与圆

分析：（1）直线l：kx-y-2-k=0（k∈R）化为k（x-1）-y-2=0，令

x-1=0 -y-2=0

，解得即可得出；
（2）由方程可知：k≠0时，直线在x轴与y轴上的截距分别为：

2+k

k

，-2-k．由于直线不经过第二象限，可得

2+k k ≥0 -2-k≤0

，解得k．当k=0时，直线变为y=-2满足题意．
（3）由直线l的方程可得A(

2+k

k

，0)，B（0，-2-k）．由题意可得

2+k k ＞0 -2-k＜0

，解得k＞0．S=

1

2

|OA|•|OB|=

1

2

•|

2+k

k

|•|-2-k|=

1

2

•

(2+k)2

k

=

1

2

(k+

4

k

+4)，利用基本不等式的性质即可得出．

解答： （1）证明：直线l：kx-y-2-k=0（k∈R）化为k（x-1）-y-2=0，
令

x-1=0 -y-2=0

，解得x=1，y=-2，
∴直线l过定点P（1，-2）．
（2）解：由方程可知：k≠0时，直线在x轴与y轴上的截距分别为：

2+k

k

，-2-k．
∵直线不经过第二象限，
∴

2+k k ≥0 -2-k≤0

，解得k＞0．当k=0时，直线变为y=-2满足题意．
综上可得：k的取值范围是[0，+∞）；
（3）解：由直线l的方程可得A(

2+k

k

，0)，B（0，-2-k）．
由题意可得

2+k k ＞0 -2-k＜0

，解得k＞0．
∴S=

1

2

|OA|•|OB|=

1

2

•|

2+k

k

|•|-2-k|=

1

2

•

(2+k)2

k

=

1

2

(k+

4

k

+4)≥

1

2

(2×2+4)=4．当且仅当k=2时取等号．
∴S的最小值为4，此时直线l的方程为2x-y-4=0．

点评：本题考查了直线系的应用、直线交点的性质、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、直线的截距，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．