Question

【题目】已知椭圆的右焦点F与抛物线焦点重合，且椭圆的离心率为，过轴正半轴一点 且斜率为的直线交椭圆于两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在实数使以线段为直径的圆经过点，若存在，求出实数的值；若不存在说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）根据抛物线焦点可得,又根据离心率可求,利用，即可写出椭圆的方程

（2）由题意可设直线的方程为，联立方程组，消元得一元二次方程，写出，利用根与系数的关系可求存在m.

解：（1）抛物线的焦点是

，，又椭圆的离心率为，即

，，则

故椭圆的方程为.

（2）由题意得直线的方程为

由消去得.

由，解得.

又，.

设，，则，.

.

，，

若存在使以线段为直径的圆经过点，则必有，即，

解得.又，.

即存在使以线段为直径的圆经过点.