Question

（2012•浙江模拟）已知抛物线x²=4y．
（Ⅰ）过抛物线焦点F，作直线交抛物线于M，N两点，求|MN|最小值；
（Ⅱ）如图，P是抛物线上的动点，过P作圆C：x²+（y+1）²=1的切线交直线y=-2于A，B两点，当PB恰好切抛物线于点P时，求此时△PAB的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设PF的方程代入x²=4y，利用抛物线的定义，结合基本不等式，即可求得|MN|最小值；
（Ⅱ）求出抛物线在点P处切线方程，从而可求圆心C到该切线距离，由对称性，不妨设P(2

3

，3)，设切线方程，利用直线与圆相切，可得直线的斜率，进而可求|AB|，由此可求△PAB的面积．

解答：解：（Ⅰ）由题意F（0，1）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），PF的方程为y=kx+1代入x²=4y得x²-4kx-4=0
|MN|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4≥4
故当k=0时，|MN|_min=4                              …（5分）
（Ⅱ）设P(a，

a2

4

)，y=

x2

4

，∴y′=

x

2

∴抛物线在点P处切线：y=

a

2

(x-a)+

a2

4

=

a

2

x-

a2

4

∴圆心C到该切线距离

|1- a2 4 |

a2 4 +1

=1，∴a²=12
由对称性，不妨设P(2

3

，3)…（9分）
显然过P作圆C的两条切线斜率都存在，设y-3=k(x-2

3

)，
∴kx-y+3-2

3

k=0
因为相切，所以

|4-2 3 k|

k2+1

=1
∴11k2-16

3

k+15=0
∴k=

3

或k=

5 3

11

在y-3=k(x-2

3

)中，令y=-2，得x=

-5

k

+2

3

…（13分）
∴|AB|=

-5

3

-

-5

5 3 11

=2

3

∴S△PAB=

1

2

|AB|(yP+2)=5

3

…（15分）

点评：本题考查抛物线中过焦点的弦长计算，考查抛物线的切线，正确运用抛物线的切线是关键．