Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD= ，AB=4．（14分）
（1）求证：M为PB的中点；
（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图，设AC∩BD=O，

∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，

∵PD∥平面MAC，PD平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，

∴PD∥OM，则 ，即M为PB的中点；

（2）

解：取AD中点G，

∵PA=PD，∴PG⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，

由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．

以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，

由PA=PD= ，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0， ），C（2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2， ），

， ．

设平面PBD的一个法向量为 ，

则由 ，得 ，取z= ，得 ．

取平面PAD的一个法向量为 ．

∴cos＜ ＞= = ．

∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°；

（3）

解： ，平面PAD的一个法向量为 ．

∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜ ＞|=| |=| |= ．

【解析】（1.）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；
（2.）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3.）求出 的坐标，由 与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．