Question

【题目】已知圆C过点A（1，2）和B（1，10），且与直线x﹣2y﹣1=0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）设P为圆C上的任意一点，定点Q（﹣3，﹣6），当点P在圆C上运动时，求线段PQ中点M的轨迹方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：圆心显然在线段AB的垂直平分线y=6上，设圆心为（a，6），半径为r，则：

圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣6）2=r2，

由点B在圆上得：（1﹣a）2+（10﹣6）2=r2，

又圆C与直线x﹣2y﹣1=0，有r= ．

于是

解得： ，或

所以圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣6）2=20，或（x+7）2+（y﹣6）2=80

（2）解：设M点坐标为（x，y），P点坐标为（x0，y0），

由M为PQ的中点，则 ，即：

又点P（x0，y0）在圆C上，

若圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣6）2=20，有： ，

则（2x+3﹣3）2+（2y+6﹣6）2=20，整理得：x2+y2=5

此时点M的轨迹方程为：x2+y2=5．

若圆的方程为（x+7）2+（y﹣6）2=80，有： ，

则（2x+3+7）2+（2y+6﹣6）2=80，整理得：（x+5）2+y2=20

此时点M的轨迹方程为：（x+5）2+y2=20

综上所述：点M的轨迹方程为x2+y2=5，或（x+5）2+y2=20

【解析】（1）设所求圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣6）2=r2 ， 代入坐标，可得圆心与半径，即可求圆C的方程；（2）分类讨论，利用代入法，求线段PQ中点M的轨迹方程．