Question

已知曲线C：（5-m）x²+（m-2）y²=8（m∈R）
（1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；
（2）设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N，直线y=1与直线BM交于点G．求证：A，G，N三点共线．

Answer 1

【答案】分析：（1）原曲线方程，化为标准方程，利用曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得m的取值范围；
（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k²+1）x²+16kx+24=0，△=32（2k²-3），解得：，设N（x_N，kx_N+4），M（x_M，kx_M+4），G（x_G，1），MB方程为：，则，从而可得，=（x_N，kx_N+2），欲证A，G，N三点共线，只需证，共线，利用韦达定理，可以证明．
解答：（1）解：原曲线方程可化简得：
由题意，曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得：，解得：
（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k²+1）x²+16kx+24=0，△=32（2k²-3）＞0，解得：
由韦达定理得：①，，②
设N（x_N，kx_N+4），M（x_M，kx_M+4），G（x_G，1），MB方程为：，则，
∴，=（x_N，kx_N+2），
欲证A，G，N三点共线，只需证，共线
即成立，化简得：（3k+k）x_Mx_N=-6（x_M+x_N）
将①②代入可得等式成立，则A，G，N三点共线得证．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解．