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    函数f(x)=x3-3a2x+a(a＞0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________.

    解析：f′(x)=3x2-3a2=3(x+a)(x-a),(a＞0).令f′(x)=0,得x=±a.当-a＜x＜a时，f′(x)＜0,函数单调递减；当x＞a或x＜-a时，f′(x)＞0,函数单调递增.∴函数f(x)在x=-a时取极大值，在x=a时取极小值.由题设得，f(-a)=-a3+3a3+a＞0                                    ①

    f(a)=a3-3a3+a＜0,                                                   ②

    由①②得a＞.

    答案：a＞


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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．”
    （1）判断函数f(x)=
    x
    3
    +
    cosx
    4
    是否是集合M中的元素，并说明理由；
    （2）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]30D，都存在-15P[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x0）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根；
    （3）设
    1
    5
    是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x2，x3，当|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1时，|f（x3）-f（x2）|＜2．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数f(x)=x3-
    3
    2
    x2+3x-
    1
    4
    ，则它的对称中心为
    (
    1
    2
    ，1)
    (
    1
    2
    ，1)
    ；计算f(
    1
    2013
    )+f(
    2
    2013
    )+f(
    3
    2013
    )+…+f(
    2012
    2013
    )    =
    2012
    2012
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=-x3+
    1
    2
    ax2+b    ．
    （1）若y=f（x）在x=1处的极值为
    5
    2
    ，求y=f（x）的解析式并确定其单调区间；
    （2）当x∈（0，1]时，若y=f（x）的图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，求当0≤θ≤
    π
    4
    时a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•孝感模拟）命题p：方程2x2+mx-2m2-5m-3=0有一正根一负根；
    命题q：函数f(x)=x3+mx2+(m+
    43
    )x+6    在R上有极值；
    若命题“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    判断函数f(x)=
    x3(ax-1)ax+1
    (a＞0，a≠1)    的奇偶性，并加以证明．

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