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在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知点

若点C满足,点C的轨迹与抛物线交于A、B两点.

(I)求证:

(II)在轴正半轴上是否存在一定点,使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

(I)证明见解析              

 (II)存在


解析:

(I)设,由知,点C的轨迹为.  2分

消y得:

,则,          

所以

所以,于是.              

 (II)假设存在过点P的弦EF符合题意,则此弦的斜率不为零,设此弦所在直线的方程为

消x得:.设

.                         

因为过点P作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的2倍,

所以,  

所以,所以存在.         

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π3
)=1
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π
2
2
)
,且|
AC
|=|
BC
|

(1)求角θ的值;
(2)设α>0,0<β<
π
2
,且α+β=
2
3
θ
,求y=2-sin2α-cos2β的最小值.

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在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确的是
 
(写出所有正确命题的编号).
①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点
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