Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c，=，=若，共线，请按以下要求作答：
（1）求角A的大小；
（2）当BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．

Answer 1

解：（1）∵∥，
∴sinA•（sinA+cosA）-=0．
∴+sin2A-=0，即sin2A-cos2A=1，即sin（2A-）=1，
∵A∈（0，π），
∴2A-∈（-，），
∴2A-=，A=．
（2）由余弦定理得：4=b²+c²-bc，又S_△ABC=bcsinA=bc，
而b²+c²≥2bc?bc+4≥2bc?bc≤4，（当且仅当b=c时取等号）
∴S_△ABC=bcsinA=bc≤×4=．
当△ABC的面积取最大值时，b=c，又A=，
∴此时△ABC为等边三角形．
分析：（1）利用向量的坐标运算与辅助角公式可求得sin（2A-）=1，A∈（0，π），从而可求得A；
（2）利用余弦定理与基本不等式即可判断△ABC的形状．
点评：本题考查三角形的形状判断，考查平面向量数量积的坐标表示与应用，考查辅助角公式与基本不等式的综合应用，属于中档题．