Question

【题目】定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足 ，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】﹣3＜m≤
【解析】解：函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+mx= 在（﹣1，1）内有实数根．

由x3+mx= x3+mx﹣m﹣1=0，解得x2+m+1+x=0或x=1．

又1（﹣1，1）

∴x2+m+1+x=0的解为： ，必为均值点，即 ﹣3＜m≤ ．

＜m≤

∴所求实数m的取值范围是﹣3＜m≤ ．

所以答案是：﹣3＜m≤ ．

【考点精析】通过灵活运用函数的值，掌握函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法即可以解答此题．