Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1 ， ∠ABC=90°，D是BC的中点．

（1）求证：A1B∥平面ADC1；
（2）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值；
（3）试问线段A1B1上是否存在点E，使AE与DC1成60°角？若存在，确定E点位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD．

由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．

又D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线，

所以 A1B∥OD，

因为 OD平面ADC1，A1B平面ADC1，

所以 A1B∥平面ADC1．

（2）解：由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，

故BA，BC，BB1两两垂直．

如图建立空间直角坐标系B﹣xyz．设BA=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），C1（2，0，1），D（1，0，0）．

所以 ，

设平面ADC1的法向量为 =（x，y，z），则有

所以 取y=1，得 =（2，1，﹣2）．

平面ADC的法向量为 =（0，0，1）．

由二面角C1﹣AD﹣C是锐角，得 = ．

所以二面角C1﹣AD﹣C的余弦值为 ．

（3）解：假设存在满足条件的点E．

因为E在线段A1B1上，A1（0，2，1），B1（0，0，1），故可设E（0，λ，1），其中0≤λ≤2．

所以 ， ．

因为AE与DC1成60°角，所以 ．

即 ，解得λ=1，舍去λ=3．

所以当点E为线段A1B1中点时，AE与DC1成60°角．

【解析】（1）证明线面平行，可以利用线面平行的判定定理，只要证明 A1B∥OD即可；（2）可判断BA，BC，BB1两两垂直，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求得平面ADC1的法向量、平面ADC的法向量，利用向量数量积可求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值；（3）假设存在满足条件的点E，根据AE与DC1成60°角，利用向量的数量积，可得结论．
【考点精析】本题主要考查了异面直线及其所成的角和直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．