Question

【题目】函数 ，则下列结论错误的是（ ）
A.f（x）是偶函数
B.方程f（f（x））=x的解为x=1
C.f（x）是周期函数
D.方程f（f（x））=f（x）的解为x=1

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵函数 ，

当x为有理数时，﹣x必为有理数，此时f（﹣x）=f（x）=1；当x为无理数时，﹣x必为无理数，此时f（﹣x）=f（x）=0．故Af（x）是偶函数正确；

若为有理数，则方程f（f（x））=f（1）=1，此时x=1；若为无理数，则方程f（f（x））=f（0）=1，此时无满足条件的x；故B方程f（f（x））=x的解为x=1正确；

对于任意的有理数T，当x为有理数时，x+T必为有理数，此时f（x+T）=f（x）=1；当x为无理数时，x+T必为无理数，此时f（x+T）=f（x）=0；即函数是周期为任意非0有理数的周期函数，故Cf（x）是周期函数正确；

若为有理数，则方程f（f（x））=f（1）=1=f（x）恒成立；若为无理数，则方程f（f（x））=f（0）=1≠f（x），此时无满足条件的x；故方程f（f（x））=f（x）的解为任意有理数，故D错误；

故答案选：D

【考点精析】关于本题考查的命题的真假判断与应用和函数的零点，需要了解两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点才能得出正确答案．