Question

【题目】如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，,CP=2，D是CP的中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD．

（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；

（2）若E是PC的中点，求三棱锥D﹣PEB的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由PD⊥底面ABCD，得PD⊥AD．结合CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC，可得ABCD为正方形，得到AD⊥CD，则AD⊥底面PCD，再由面面垂直的判定得平面PAD⊥底面PCD；
（2）由PD=DC，E是PC的中点，得DE⊥PC．结合（1）知AD⊥底面PCD，得AD⊥DE．从而得到BC⊥DE．进一步得到DE⊥底面PBC．然后求解直角三角形得到三角形PBC的面积代入体积公式得答案．

（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．

又由于CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC，∴ABCD为正方形，

∴AD⊥CD，又PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，

∵AD平面PAD，∴平面PAD⊥底面PCD；

（2）解：∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．

由（1）知有AD⊥底面PCD，∴AD⊥DE．

由题意得AD∥BC，故BC⊥DE．

于是，由BC∩PC=C，可得DE⊥底面PBC．

∴DE=，PC=2，

又∵AD⊥底面PCD，∴AD⊥CP，

∵AD∥BC，∴AD⊥BC．

∴= =×=

∴=×DE×=．