Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜

π

2

）的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g(x)=-4f(-

π

4

-x)-1，且lg[g（x）]＞0，求g（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）利用函数的图象，求出A，求出函数的周期，然后求出ω，利用函数经过的特殊点，求出φ，即可得到函数f（x）的解析式；
（2）利用函数的解析式，通过函数g(x)=-4f(-

π

4

-x)-1，化简解析式，利用lg[g（x）]＞0，求出x的范围，然后求解函数的g（x）的单调区间．

解答：解：（1）由图象可知A=1，

T

4

=

7π

12

-

π

3

=

π

4

，T=π，即

2π

ω

=π，所以ω=2，
所以f（x）=sin（2x+φ），…（2分）
f(

7π

12

)=sin(2×

7π

12

+φ)=sin(

7π

6

+φ)=-1，即sin(

π

6

+φ)=1，
所以

π

6

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z，即φ=

π

3

+2kπ，k∈Z，…（3分）
又|φ|＜

π

2

，所以φ=

π

3

，
所以f(x)=sin(2x+

π

3

)；    …（4分）
（2）由（1）得，f(x)=sin(2x+

π

3

)，
所以g(x)=-4f(-

π

4

-x)-1=-4sin[2(-

π

4

-x)+

π

3

]-1=-4sin(-2x-

π

2

+

π

3

)-1=-4sin(-2x-

π

6

)-1=4sin(2x+

π

6

)-1．         …（6分）
又由lg[g（x）]＞0，得g（x）＞1，∴4sin(2x+

π

6

)-1＞1，∴sin(2x+

π

6

)＞

1

2

，
∴

π

6

+2kπ＜2x+

π

6

＜

5π

6

+2kπ，k∈Z…（8分）
其中当

π

6

+2kπ＜2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z时，g（x）单调递增，即kπ＜x≤

π

6

+kπ，k∈Z，
∴g（x）的单调增区间为(kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z…（10分）
又∵当

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

＜

5π

6

+2kπ，k∈Z时，g（x）单调递减，
即

π

6

+kπ≤x＜

π

3

+kπ，k∈Z；
∴g（x）的单调减区间为[

π

6

+kπ，

π

3

+kπ)，k∈Z．…（12分）
综上所述，g（x）的单调增区间为(kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z；g（x）的单调减区间为[

π

6

+kπ，

π

3

+kπ)，k∈Z． 　      …（13分）

点评：本题考查三角函数的解析式的求法，函数的单调区间的求法，考查计算能力以及逻辑推理能力．