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1.在△ABC中,已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA=$\frac{b+2asinB-2acosC}{2c}$.
(1)求角A;
(2)若△ABC的面积为$\frac{1}{2}$,求a的最小值.

分析 (1)运用正弦定理和两角和的正弦公式,化简整理,即可得到角A;
(2)运用余弦定理和面积公式,结合重要不等式,可得a的最小值.

解答 解:(1)由cosA=$\frac{b+2asinB-2acosC}{2c}$及正弦定理得,
2(sinCcosA+cosCsinA)=sinB+2sinAsinB,
2sin(C+A)=sinB+2sinAsinB,
由A+B+C=π,则sin(C+A)=sinB,
则sinB=2sinAsinB
在△ABC中sinB≠0,
∴sinA=$\frac{1}{2}$,又0<A<π,
∴A=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$;
(2)△ABC面积为$\frac{1}{2}$,
所以S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc$•\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$,即bc=2,
由余弦定理得
a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-4cosA≥2bc-4cosA=4-4cosA(当且仅当b=c取得等号)
①若A=$\frac{π}{6}$则a2$≥4-4cosA=4-2\sqrt{3}$=($\sqrt{3}$-1)2(当且仅当b=c=$\sqrt{2}$取得等号)
②若A=$\frac{5π}{6}$则a2≥4-4cosA=4+2$\sqrt{3}$=($\sqrt{3}$+1)2(当且仅当b=c=$\sqrt{2}$时取得等号)
所以,若A=$\frac{π}{6}$,则a的最小值为$\sqrt{3}$-1;
A=$\frac{5π}{6}$,则a的最小值为$\sqrt{3}$+1.

点评 本题考查正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式的运用,同时考查三角函数的恒等变换公式的运用及重要不等式的运用,属于中档题.

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