Question

1．在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA=$\frac{b+2asinB-2acosC}{2c}$．
（1）求角A；
（2）若△ABC的面积为$\frac{1}{2}$，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用正弦定理和两角和的正弦公式，化简整理，即可得到角A；
（2）运用余弦定理和面积公式，结合重要不等式，可得a的最小值．

解答 解：（1）由cosA=$\frac{b+2asinB-2acosC}{2c}$及正弦定理得，
2（sinCcosA+cosCsinA）=sinB+2sinAsinB，
2sin（C+A）=sinB+2sinAsinB，
由A+B+C=π，则sin（C+A）=sinB，
则sinB=2sinAsinB
在△ABC中sinB≠0，
∴sinA=$\frac{1}{2}$，又0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$；
（2）△ABC面积为$\frac{1}{2}$，
所以S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc$•\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，即bc=2，
由余弦定理得
a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-4cosA≥2bc-4cosA=4-4cosA（当且仅当b=c取得等号）
①若A=$\frac{π}{6}$则a²$≥4-4cosA=4-2\sqrt{3}$=（$\sqrt{3}$-1）²（当且仅当b=c=$\sqrt{2}$取得等号）
②若A=$\frac{5π}{6}$则a²≥4-4cosA=4+2$\sqrt{3}$=（$\sqrt{3}$+1）²（当且仅当b=c=$\sqrt{2}$时取得等号）
所以，若A=$\frac{π}{6}$，则a的最小值为$\sqrt{3}$-1；
A=$\frac{5π}{6}$，则a的最小值为$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式的运用，同时考查三角函数的恒等变换公式的运用及重要不等式的运用，属于中档题．