Question

将集合M={1，2，…12}的元素分成不相交的三个子集：M=A∪B∪C，其中A={a₁，a₂，a₃，a₄}B={b₁，b₂，b₃，b₄}C={c₁，c₂，c₃，c₄}，c₁＜c₂＜c₃＜c₄，且a_k+b_k=c_k，k=1，2，3，4，则集合C为：

{8，9，10，12}，{7，9，11，12}，{6，10，11，12}

．

Answer 1

分析：由

4

i=1

ci=

4

i=1

ai+

4

i=1

bi，得2

4

i=1

ci=

4

i=1

ai+

4

i=1

bi+

4

i=1

ci=1+2+…+12=78，所以

4

i=1

ci=39，由此入手能够求出集合C．

解答：解：由

4

i=1

ci=

4

i=1

ai+

4

i=1

bi，
得2

4

i=1

ci=

4

i=1

ai+

4

i=1

bi+

4

i=1

ci=1+2+…+12=78，
所以

4

i=1

ci=39，
先不考虑搭配情况，设c₁＜c₂＜c₃＜c₄，则c₄=12，c₁+c₂+c₃=27，
故3c₃＞27，10≤c₃≤11，且c₂≤9；
若c₃=10，则c₁+c₂=17，c₂≥9，所以c₂=9，c₁=8；
于是C={8，9，10，12}；
若c₃=11，则c₁+c₂=16，c₂≤10，得c₂＞8，
故c₂只能取9或10，c₁只能取7与6；
分别得C={7，9，11，12}，C={6，10，11，12}；
另一方面，三种情况都对应有相应的子集A和B，例如以下的表：

因此子集C的三种情况都合条件．
故答案为：：{8，9，10，12}，{7，9，11，12}，{6，10，11，12}．

点评：本题考查集合的交、并、补的混合运算，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．