Question

17．已知数列{a_n}各项均为正，且a₁=1，a_n+1a_n+a_n+1-a_n=0（n∈N^*）
（1）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$，求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由于数列{a_n}各项均为正，且a₁=1，a_n+1a_n+a_n+1-a_n=0（n∈N^*），可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=1，即b_n+1-b_n=1．即可证明．
（2）利用等差数列的通项公式及“裂项求和”即可得出．

解答 （1）证明：∵数列{a_n}各项均为正，且a₁=1，a_n+1a_n+a_n+1-a_n=0（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=1，即b_n+1-b_n=1．
∴数列{b_n}是等差数列，首项为1，公差为1；
（2）解：由（1）可得：b_n=1+（n-1）=n．
∴a_n=$\frac{1}{n}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}的前n项和S_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．